<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          7 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Nona Parte 

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 7 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2009
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
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          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 7 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08017-1 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08018-8 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
 Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00908           CDD-372`.7
<P>
<P>
<R+>
<F->
                            III
Sumrio

Nona Parte

Unidade 9

Grandezas 
  proporcionais :::::::::::: 805
1 -- Nmeros 
  proporcionais :::::::::::: 808
Nmeros diretamente 
  proporcionais :::::::::::: 808
Nmeros inversamente 
  proporcionais :::::::::::: 811
2 -- Diviso 
  proporcional ::::::::::::: 823
Diviso em partes 
  diretamente 
  proporcionais :::::::::::: 823
Diviso em partes 
  inversamente 
  proporcionais :::::::::::: 829
3 -- Proporcionalidade 
  entre grandezas :::::::::: 836
Grandezas diretamente 
  proporcionais :::::::::::: 836
<P>
Grandezas inversamente 
  proporcionais :::::::::::: 841
4 -- Regra de trs 
  simples :::::::::::::::::: 853
5 -- Regra de trs 
  composta ::::::::::::::::: 861
Leitura + (mais) :::::::: 878
Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 881

Unidade 10

Porcentagem e juro 
  simples :::::::::::::::::: 891
1 -- Porcentagem e 
  problemas :::::::::::::::: 893
2 -- Juro simples :::::::: 907
Clculo de juro 
  simples :::::::::::::::::: 911
Leitura + (mais) :::::::: 919
Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 923
<R->
<F+>

<256>
<ti. d. mat. 7 ano>
<T+805>
 Unidade 9

 Grandezas proporcionais

<R+>
_`[{um casal dentro de um carro parado em uma estrada observa um mapa_`]
<R->

_`[{a moa diz_`]
  "Voc sabia que Santos est a 140 km de So Sebastio?"

_`[{o homem diz_`]
  "Meu carro faz esse percurso com apenas 10 litros de gasolina!!!"

  Veja o consumo mdio do carro nesta tabela:

<R+>
<F->
_`[{tabela *Consumo mdio* adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Consumo `(l`)
2 coluna: Percurso `(km`)
<P>
!:::::::::::
l 1 _ 2  _
r:::::w::::::w
l 1  _ 14  _
r:::::w::::::w
l 2  _ 28  _
r:::::w::::::w
l 3  _ 42  _
r:::::w::::::w
l 4  _ 56  _
r:::::w::::::w
l 5  _ 70  _
r:::::w::::::w
l 6  _ 84  _
r:::::w::::::w
l 7  _ 98  _
r:::::w::::::w
l 8  _ 112 _
r:::::w::::::w
l 9  _ 126 _
r:::::w::::::w
l 10 _ 140 _
r:::::w::::::w
l 11 _ 154 _
h:::::j::::::j
<F+>
<R->

  As grandezas distncia percorrida e consumo de combustvel variam proporcionalmente.
  Dobrando o consumo de gasolina, a distncia percorrida tambm dobra. Triplicando o consumo de gasolina, a distncia percorrida tambm triplica.

<257>
<R+>
_`[{foto: fila de pessoas em uma loteria; um cartaz indica: "Mega Sena Acumulada 13.000.000,00"_`]
<R->

  Quando um prmio de loteria fica acumulado, em geral vemos cenas como a da fotografia: filas de pessoas fazendo apostas. Quanto maior o nmero de ganhadores, menor ser, proporcionalmente, a quantia que caber a cada um.
  Situaes ligadas a consumo, dinheiro e desempenho so comuns no cotidiano de um grande nmero de pessoas. Elas esto associadas  ideia de proporcionalidade, tanto direta como inversa.
  Nesta unidade, vamos estudar a proporcionalidade relacionada  variao de uma grandeza em funo da variao de outra e tambm resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais com o auxlio de uma regra prtica, a regra de trs.
<R+>
  Qual  o consumo mdio do carro da situao ilustrada na pgina 805? 
  Um prmio acumulado da megassena  de R$33.000.000,00. Se houver dois ganhadores, quanto receber cada um? E se houver 1.000? 
  Descreva uma situao que envolva a ideia de proporcionalidade.
<R->

<258>
 1 -- Nmeros proporcionais

 Nmeros diretamente proporcionais

  Observe os nmeros que esto nesta tabela:
<P>
<R+>
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
 Primeira linha: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
 Segunda linha: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154.

 wr
  Quais so as razes entre os nmeros da primeira linha e seus correspondentes na segunda linha, em cada quadro desta tabela? 
  O que ocorre com as razes que voc calculou?
<R->

  As razes entre os nmeros correspondentes desta tabela so sempre iguais a 114.

 #,ad=#;bh=#:db=#ef=#?gj=#!hd=
  =#=ih=#"aab=#*abf=#,adj=#,,aed

<R+>
 Dizemos que os nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 so diretamente proporcionais a 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140 e 154, nessa ordem, na razo de 1 para 14, ou seja, 114.
 #,ad  o fator de proporcionalidade ou constante de proporcionalidade.
<R->

  Agora, analise esta situao:
  As letras *a*, *b* e *c* representam nmeros que so diretamente proporcionais a 15, 27 e 36, nessa ordem e o fator de proporcionalidade  #,c.

<R+>
 wr
  Quais so os valores de *a*, *b* e *c*?
<R->

  *a*, *b*, *c* e 15, 27, 36 so diretamente proporcionais, nessa ordem. As razes so iguais: a~15=b~27=c~36=#,c.
  Podemos separar essas equaes, igualando cada uma das razes a #,c:
<P>
 a~15=#,c
 3.a=15
 a=5

 b~27=#,c
 3.b=27
 b=9

 c~36=#,c
 3.c=36
 c=12

  Os valores de *a*, *b* e *c* so 5, 9 e 12, respectivamente.

<259>
 Nmeros inversamente 
  proporcionais

  Observe esta tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
 Primeira linha: 60, 80, 100, 120, 160, 200.
 Segunda linha: 8, 6, 4,8, 4, 3, 2,4.
<R->

  Nela existe uma relao entre os nmeros que esto na primeira linha e seus correspondentes na segunda linha.

<R+>
 wr
  Determine as razes entre os nmeros que esto na primeira linha e os inversos de seus correspondentes na segunda linha. O que ocorre com essas razes?
<R->

  Vamos determinar as razes entre os nmeros e os inversos de seus correspondentes:

 60#,h=60.8=480 
 80#,f=80.6=480
 1001~4,8=100.#d,h=480
 120#,d=120.#d=480
 160#,c=160.#d=480
 2001~2,4=120.#b,d=480

  As razes entre os nmeros 60, 80, 100, 120, 160 e 200 e os inversos dos nmeros 8; 6; 4,8; 4; 3 e 2,4, nessa ordem; so iguais.
  Ainda na tabela, o produto de um nmero da primeira linha pelo nmero correspondente da segunda  sempre o mesmo.

 60.8=480
 80.6=480
 100.#d,h=480
 120.#d=480
 160.#c=480
 200.#b,d=480

  O produto  sempre igual a 480.

<R+>
 Dizemos que os nmeros 60, 80, 100, 120, 160 e 200 so inversamente proporcionais aos nmeros 8; 6; 4,8; 4; 3 e 2,4, nessa ordem. O fator de proporcionalidade ou constante de proporcionalidade  480.
<R->

  As letras *a*, *b* e *c* representam nmeros inversamente pro-
<P>
porcionais aos nmeros 21, 63 e 72, nessa ordem.
  O fator de proporcionalidade inversa  504.

<R+>
 wr
  Determine os valores de *a*, *b* e *c*.
<R->

<260>
_`[{o professor diz_`]
  "Inversamente proporcionais, produtos iguais."

<R+>
 *a*, *b*, *c* e 21, 63, 72 so inversamente proporcionais.
 Portanto, 21.a=63.b=
  =72.c=504.
 504 -- fator de proporcionalidade
<R->

  Separamos em trs equaes:

 21.a=504
 a=#?ba
 a=24

 63.b=504
 b=#?fc
 b=8
<P>
 72.c=504
 c=#?gb
 c=7

<R+>
 Os valores de *a*, *b* e *c* so 24, 8 e 7, respectivamente.
<R->

  Observe e analise os dados desta tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
 Primeira linha: 80, 120, 160, 240.
 Segunda linha: 120, 100, 80, 60.

 wr
  Existe uma relao de proporcionalidade entre os nmeros que esto na primeira linha da tabela e seus correspondentes na segunda linha?
<R->

  Podemos verificar que as razes entre os dados correspondentes desta tabela no so iguais.

 #"abj=#;c
 #,;ajj=#!e
 #,!hj=2
 #;fj=#d

  Portanto, os nmeros 80, 120, 160 e 240 no so diretamente proporcionais aos nmeros 120, 100, 80 e 60, nessa ordem.
  Calculando os produtos dos nmeros da primeira linha e seus correspondentes na segunda linha, observamos que eles so diferentes:

 80.#abj=9.600 
 120.#ajj=1.200 
 160.#hj=12.800 
 240.#fj=14.400

  Os nmeros 80, 120, 160 e 240 no so inversamente proporcionais aos nmeros 120, 100, 80 e 60, nessa ordem.
  No existe uma relao de proporcionalidade entre os nmeros 80, 120, 160 e os nmeros 120, 100, 80 e 60, nessa ordem.
 Vamos combinar

  Os nmeros de um conjunto so direta ou inversamente proporcionais aos nmeros de outro conjunto, na ordem em que aparecem.

<261>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Considere os nmeros 12, -36 e 45.
 a) Esses nmeros so diretamente proporcionais aos nmeros -4, 12 e -15, nessa ordem? 
 b) Qual  o fator de proporcionalidade? 

 2. Os nmeros 14, 49 e 245 so inversamente proporcionais aos nmeros 35, 10 e 2, nessa ordem. Qual  o fator de proporcionalidade? 
 3. Os nmeros -30, 7,5 e 15 so, de alguma forma, proporcionais aos nmeros -5, 10 e 20, nessa ordem?
 4. Observe esta tabela:

<F->
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]

!:::::::::::::::::
l a      _ b       _
r::::::::w:::::::::w
l -12,8 _ 102,4  _
r::::::::w:::::::::w
l 13,4  _ -107,2 _
r::::::::w:::::::::w
l -25,6 _ 204,8  _
r::::::::w:::::::::w
l 30,5  _ -244   _
h::::::::j:::::::::j
<F+>

 Os nmeros que se encontram na coluna representada por *a* so diretamente ou inversamente proporcionais aos nmeros que se encontram na coluna representada por *b*?

 5. Considere os nmeros 18, 36 e 345. Esses nmeros so de alguma forma proporcionais aos nmeros 54, 108 e 115, nessa ordem?
 6. Copie e complete uma tabela como esta. Nela, os nmeros da primeira coluna so diretamente proporcionais aos nmeros correspondentes na segunda coluna.

<F->
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
1 coluna: Quantidade de laranjas
2 coluna: Preo R$

!:::::::::::::
l 1  _ 2   _
r::::::w:::::::w
l 20  _ 3,00 _
r::::::w:::::::w
l 100 _ '''   _
r::::::w:::::::w
l '''  _ 7,50 _
r::::::w:::::::w
l 70  _ '''   _
h::::::j:::::::j
<F+>

 7. Na tabela a seguir, os nmeros que se encontram na coluna representada por *x* so inversamente proporcionais aos nmeros que se encontram na coluna representada por *y*. Copie e complete uma tabela como esta.

<F->
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]

!:::::::::::::::
l x      _ y     _
r::::::::w:::::::w
l '''    _ 5    _
r::::::::w:::::::w
l 12,5  _ '''   _
r::::::::w:::::::w
l 15    _ 4    _
r::::::::w:::::::w
l '''    _ 2,5  _
h::::::::j:::::::j
<F+>

 8. As letras *a*, *b* e *c* representam nmeros que so diretamente proporcionais aos nmeros 14, 56 e 84. O fator de proporcionalidade  #!g. Quais so os valores de *a*, *b* e *c*? 
 9. Quais so os valores dos nmeros representados pelas letras *x* e *y* para que -12, *x* e *y* sejam diretamente proporcionais aos nmeros 6, -5 e 13?

 10. As letras *a* e *c* representam nmeros. Sabendo que *a*, 63 e *c* so inversamente proporcionais aos nmeros 9, 7 e 3, determine:
 a) o fator de proporcionalidade; 
 b) o valor de *a* e o valor de *c*. 

 11. Quais os valores de *x* e *y* para que 1,2; 5 e *y* sejam inversamente proporcionais aos nmeros *x*, 14,4 e 150?
 12. Nesta tabela os nmeros que se encontram na coluna representada por Y so inversamente proporcionais aos nmeros correspondentes na coluna representada por Z. Determine o fator 
<P>
  de proporcionalidade e os valores de *a*, *b* e *c*.

<F->
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]

!:::::::::::
l Y  _ Z   _
r:::::w::::::w
l a   _ 7   _
r:::::w::::::w
l #=h _ b    _
r:::::w::::::w
l #:e _ #=c  _
r:::::w::::::w
l c   _ 6,3 _
h:::::j::::::j
<F+>
<R->

 Troque ideias e resolva

  Existe um tipo de vela, chamada vela de 7 dias, que, uma vez acesa, leva em mdia sete dias para queimar at o fim.
<P>
<R+>
  Acendendo ao mesmo tempo 5 velas de 7 dias, quantos dias elas levaro para queimar at o fim?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<262>
 2 -- Diviso proporcional

  Fazer uma diviso proporcional, como o prprio nome indica,  repartir algo mantendo uma proporcionalidade direta ou inversa. O tipo de proporcionalidade  definido pela anlise da situao-problema que est sendo resolvida.

 Diviso em partes diretamente 
  proporcionais

  Rubens e Snia investiram R$240.000,00 montando uma lanchonete.

_`[{rubens diz_`]
  "Que tal uma sociedade?"

_`[{snia diz_`]
  "Sim, mas como repartir o bolo?"

_`[{rubens diz_`]
  "A diviso ser proporcional ao que investirmos."

_`[{snia diz_`]
  "Acho razovel."

<R+>
 wr
  Eles decidiram que o investimento seria diretamente proporcional aos nmeros 3 e 5, nessa ordem, para Rubens e Snia. Que quantia cada um investiu nessa sociedade?
<R->

  Vamos indicar a quantia que cada um deles investiu usando uma letra e resolver o problema por meio de um sistema de equaes.

 r: quantia investida por Rubens.
 s: quantia investida por Snia.
<P>
 A soma  240.000.
 r+s=240.000

  As quantias *r* e *s* so diretamente proporcionais a 3 e 5: r3=s5

 Sistema de duas equaes e 
  duas variveis.

_`[{o professor diz_`]
  "Vamos resolver o sistema pelo mtodo da comparao."

 r3=s5 e r+s=240.000

 r3=s5
 5.r=3.s
 r=?3.s*~5
 r+s=240.000
 r=240.000-s

<263>
  Igualando as duas expresses obtidas para *r*, temos:
<P>
 ?3.s*~5=240.000-s
 ?3.s*~5=?5.#bdj.jjj*~5-?5.
  .s*~5

 3.s+5.s=1.200.000
 8.s=1.200.000
 s=150.000
 r+s=240.000 (substituindo *s* 
  por 150.000...)
 r+150.000=240.000
 r=90.000

<R+>
 Rubens investiu R$90.000,00 e Snia, R$150.000,00.
<R->

  Vov Carlos distribuiu R$720,00 aos trs netos.

_`[{vov Carlos diz_`]
  "Quanto mais velho, maior a quantia!"

_`[{o menino diz_`]
  "Tenho 10 anos!"

_`[{a menina diz_`]
  "E eu, 8..."

_`[{outro menino diz_`]
  "Tenho 6!"

  As quantias eram diretamente proporcionais s idades de cada um.

<R+>
 wr
  Qual foi a quantia que cada um recebeu?
<R->

  Podemos resolver o problema, indicando a quantia que cada um recebeu por uma letra e usando um sistema de equaes. Observe:

 x -- quantia do neto mais velho 
 y -- quantia da neta 
 z -- quantia do neto mais novo

 *x*, *y* e *z* so diretamente 
  proporcionais a 10, 8 e 6.

 x~10=y~8=z~6 e x+y+z=720

  Vamos escrever expresses para *y* e *z* em funo de *x*:

 x~10=y~8
 10.y=8.x
 y=?8.x*~10
 y=?4.x*~5

 x~10=z~6
 10.z=6.x
 z=?6.x*~10
 z=?3.x*~5

  Substitumos *y* e *z* pelas expresses anteriores na equao x+y+z=720:

 x+y+z=720 
 x+?4.x*~5+?3.x*~5=720
 ?5.x*~5+?4.x*~5+?3.x*~5=
  =?5.#gbj*~5
 5.x+4.x+3.x=3.600 
 12.x=3.600 
 x=#:.!ab 
 x=300

  Calculamos os valores de *y* e *z* para x=300:
<P>
 y=?4.x*~5=?4.#cjj*~5=4.60
 y=240
 z=?3.x*~5=?3.#cjj*~5=3.60
 z=180

  Portanto, o neto mais velho recebeu R$300,00, o mais novo, R$180,00, e a neta, R$240,00.

<264>
 Diviso em partes inversamente 
  proporcionais

  Em uma escolinha de futebol, o tcnico distribuiu 28 camisetas aos trs alunos que menos faltaram s aulas.
  Elas foram distribudas em quantidades inversamente proporcionais ao nmero de faltas de cada aluno. Pedro, com 5 faltas, Juca, com 6, e Beto, com 10, foram os premiados.

<R+>
 wr
  Quantas camisetas cada um ganhou?
<R->

  Vamos indicar a quantidade de camisetas que cada um ganhou por uma letra e resolver o problema por meio de um sistema de equaes:

<R+>
 p -- quantidade de camisetas de Pedro
 j -- quantidade de camisetas de Juca
 b -- quantidade de camisetas de Beto
<R->

 A soma  28.
 p+j+b=28.

  *p*, *j* e *b* so inversamente proporcionais a 5, 6 e 10. Veja que 5.p=6.j=10.b

_`[{o professor diz_`]
  "Vamos relacionar *p* e *j*, separadamente, com *b*."

 p+j+b=28 e 5.p=6.j=10.b

 5.p=6.j=10.b
 5.p=10.b
 p=?10.b*~5
 p=2.b

 6.j=10.b
 j=?10.b*~6
 j=?5.b*~3

_`[{o professor diz_`]
  "Substitumos *p* por 2.b, e *j* por ?5.b*~3 em p+j+b=28."

 2.b+?5.b*~3+b=28
 ?3.2.b*~3+?1.5.b*~3+
  +?3.b*~3=?3.28*~3
 6.b+5.b+3.b=84
 14.b=84
 b=6
 
  Substitumos *b* por 6, em p=2.b.

 p=2.6
 p=12

  Substitumos *b* por 6, em j=?5.b*~3. 
 
 j+?5.6*~3
 j=10

  Portanto, Pedro ganhou 12 camisetas, Juca, 10, e Beto, 6.

<265>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 13. Adriana e Mrcio vo se casar e combinaram que o aluguel do apartamento onde vo morar ser dividido em partes diretamente proporcionais ao salrio de cada um. O valor do aluguel  R$1.400,00. Se o salrio de Adriana corresponde a 5 salrios mnimos e o de Mrcio, a 9 salrios mnimos, quanto cada um pagar? 

 14. As medidas da largura e do comprimento de um retngulo so diretamente proporcionais a 5 e 8, e seu permetro  78 cm.
 a) Quais so as dimenses desse retngulo, se a largura  menor que o comprimento?
 b) Qual  a rea desse retngulo? 

 15. No Natal, Pedro deu um prmio de R$8.400,00 para seus dois vendedores, dividindo-o em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas que cada um teve durante o ano. Se Antnio faltou trs dias e Marcelo, quatro, quanto cada um recebeu?
 16. Joo quer repartir R$900,00 entre seus trs netos em partes diretamente proporcionais  idade de cada um. Juca tem 7 anos, Marta tem 10 anos e Daniel tem 13 anos. Que quantia caber a cada um?
 17. Leila e Jos receberam R$2.800,00 por um trabalho extra e combinaram que o total seria dividido em partes inversamente proporcionais ao salrio de cada um. Se Leila ganha 6 salrios mnimos e Jorge 8 salrios mnimos, quanto coube a cada um?
 18. Um terreno de 360 m2 ser dividido em trs partes, de modo que as reas dessas partes sejam diretamente proporcionais aos nmeros 2, 4 e 6. Qual ser a rea de cada parte?
 19. O permetro de um tringulo  48 m e as medidas dos seus lados so diretamente proporcionais a 4, 3 e 5. Determine as medidas dos lados desse tringulo. 
 20. Trs pintores cobraram R$5.200,00 pela pintura de uma casa e combinaram que receberiam em partes diretamente proporcionais ao nmero de dias trabalhados. O primeiro trabalhou 15 dias, o segundo, 12 dias, e o terceiro, 25 dias. Quanto recebeu cada um?
 21. Regina, Marcelo e Mrcio so corretores. A comisso de R$8.600,00 que ganharam na venda de um imvel foi dividida em partes inversamente proporcionais ao tempo que esto na empresa. Regina tem 14 anos, Marcelo, 12 anos, e Mrcio, 20 anos. Quanto recebeu cada um?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Em um supermercado, esto sendo anunciadas vrias ofertas especiais. Uma delas  a de macarro, como mostra a ilustrao.

<R+>
_`[{ilustrao: "Promoo! Macarro. Leve 4 pague 3. R$2,40 a unidade"_`]

  Se voc aproveitar a promoo anunciada, quanto pagar por 4 pacotes de macarro? E por 6 pacotes? 
  O nmero de pacotes  de alguma forma proporcional ao preo que deve ser pago por eles?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<266>
 3 -- Proporcionalidade entre 
  grandezas 

  s vezes, a variao de uma grandeza provoca a variao de outra, em uma razo direta ou inversa. Dizemos ento que essas grandezas so proporcionais e que essa variao pode se dar em uma proporcionalidade direta ou em uma proporcionalidade inversa.

 Grandezas diretamente 
  proporcionais

  Observe a situao:

<R+>
_`[{cena descrita a seguir_`]
 Um carro estaciona em um posto e o frentista pergunta: "Quantos litros vo?"; o motorista diz: "30 l so suficientes!"; o motorista pensa: "Bom... com 10 l ele est percorrendo 90 km. Como so 270 km..."
<P>
 wr
  O que ocorre com a razo entre espao e volume nessa situao?
<R->

  Vamos relacionar os espaos percorridos  quantidade de combustvel consumida para percorr-los.

<F->
:::::::::::::::::
Espao l Volume 
 km   l  l
:::::::::::::::::
90     l  10
270    l  30 
::::::::::::::::: 
<F+>
 
 90 para 270 triplica e de 10 
  para 30 triplica.

 #*bgj=#,cj -- razes iguais

  Observe que, se o espao percorrido triplicar em relao ao anterior, por exemplo, o volume de combustvel consumido tambm triplicar em relao ao anterior. Se o espao percorrido for a metade do anterior, o volume de combustvel tambm ser a metade do anterior. 
  Dizemos que as grandezas espao percorrido e volume, nessa situao, so grandezas diretamente proporcionais.

<R+>
 Duas grandezas so diretamente proporcionais quando as razes entre os valores de uma delas e os valores correspondentes da outra so iguais.

 wr
  Qual  o fator de proporcionalidade entre as grandezas espao percorrido e volume de combustvel consumido para percorrer esse espao?
<R->

<267>
  Joo tem uma loja de materiais de construo.
  O que ele mais vende na sua loja so lixas finas. Para facilitar o dia a dia dos pedreiros que so seus clientes ele elaborou uma tabela listando a quantidade de lixas e os preos correspondentes.

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
<P>
1 coluna: Quantidade de lixas
2 coluna: Valor R$

!::::::::::::
l 1 _ 2   _
r:::::w:::::::w
l 1  _ 0,25 _
r:::::w:::::::w
l 2  _ 0,50 _
r:::::w:::::::w
l 3  _ 0,75 _
r:::::w:::::::w
l 4  _ 1,00 _
r:::::w:::::::w
l 5  _ 1,25 _
r:::::w:::::::w
l 6  _ 1,50 _
r:::::w:::::::w
l 7  _ 1,75 _
r:::::w:::::::w
l 8  _ 2,00 _
r:::::w:::::::w
l 9  _ 2,25 _
r:::::w:::::::w
l 10 _ 2,50 _
h:::::j:::::::j
<F+>
<P>
 wr
  O que ocorre com as razes entre quantidade e preo para os dados dessa tabela? 
  Como variam as grandezas quantidade e preo?
<R->

  As grandezas quantidade e preo so diretamente proporcionais, pois as razes entre quantidade e preo so constantes e iguais a 4. Veja algumas delas:

 10,25=1#;?ajj=1.#,be=1.
  .#a=4
 92,25=9#;;?ajj=9.#,bbe=
  =1.#,be=4

 Grandezas inversamente 
  proporcionais

  Um avio a jato voa de So Paulo a Recife em 3 horas.
  Ele se desloca a uma velocidade mdia de 880 quilmetros por hora. Outro avio, a uma velocidade 
<P>
 mdia de 440 quilmetros por hora, leva 6 horas.
 
<R+>
 wr
  Que grandezas esto envolvidas nessa situao? 
  Compare as velocidades com os tempos correspondentes. Existe algum tipo de proporcionalidade entre os dados que voc relacionou?
<R->

  Vamos relacionar as velocidades mdias desenvolvidas com o tempo que se leva para ir de So Paulo a Recife:

_`[{o professor diz_`]
  "Produtos iguais, proporcionalidade inversa."
<P>
<F->
:::::::::::::::::::
Velocidade lTempo
km/h     l h   
:::::::::::::::::::
880        l 3    
440        l 6
:::::::::::::::::::

880 para 440 diminui.  a meta-
  de.
3 para 6 aumenta.  o dobro.
<F+>

  Isso significa que, se em certo tempo percorremos determinada distncia com uma dada velocidade mdia, e essa velocidade mdia for reduzida  metade, ento o tempo dobrar em relao ao anterior.
<268>
  Dizemos que as grandezas velocidade e tempo, envolvidas na situao da pgina 841, so grandezas inversamente proporcionais.

<R+>
 Duas grandezas so inversamente proporcionais quando o produto dos valores de uma delas pelos 
<P>
  valores correspondentes da outra so iguais.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 22. Esta tabela relaciona o nmero de livros iguais e o nmero de caixas em que eles esto embalados.

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l Livros    _ Caixas    _
l (nmero) _ (nmero) _
r::::::::::::w::::::::::::w
l 180       _ 12        _
r::::::::::::w::::::::::::w
l 720       _ 48        _
h::::::::::::j::::::::::::j
<F+>

 Mantendo constante o nmero de livros e o nmero de caixas:
 a) Para 180 livros iguais, qual  a razo entre o nmero de livros e o nmero de caixas?
<P>
 b) Quando o nmero de livros aumenta de 180 para 720, qual  a razo entre o nmero de livros e o nmero de caixas?
 c) As razes que voc encontrou so iguais?
 d) Nessa situao, o nmero de livros e o nmero de caixas so grandezas direta ou inversamente proporcionais? 
 e) Qual  o fator de proporcionalidade? 

 23. Nesta tabela, a primeira coluna  formada por volumes de lcool e a segunda, por preos correspondentes a cada um desses volumes. Copie e complete esta tabela, verificando se essas grandezas so direta ou inversamente proporcionais. Justifique sua resposta.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Volume l
2 coluna: Preo R$

!:::::::::::::
l 1  _ 2   _
r::::::w:::::::w
l 2,5 _ 5,00 _
r::::::w:::::::w
l 6,1 _ '''   _
r::::::w:::::::w
l 8,2 _ '''   _
r::::::w:::::::w
l 10  _ '''   _
h::::::j:::::::j
<F+>

 Problema resolvido

 24. Lcia elaborou uma tabela para suas leituras e verificou que, quanto mais pginas lia por dia, no mesmo ritmo, menos dias levava para ler um livro. Como ficou a tabela que ela fez?

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
<P>
1 coluna: Nmero de pginas lidas (por dia)
2 coluna: Tempo (dias)

!:::::::::::
l 1  _ 2 _
r::::::w:::::w
l 5   _ 32 _
r::::::w:::::w
l 10  _ ''' _
r::::::w:::::w
l 16  _ ''' _
r::::::w:::::w
l 20  _ ''' _
r::::::w:::::w
l 160 _ ''' _
h::::::j:::::j
<F+>

 O nmero de pginas lidas por dia e o tempo gasto para ler o livro so grandezas inversamente proporcionais.

<F->
5.32=160 -- fator de proporcionalidade
10160 -- tempo =16010=16 dias

Lendo 10 pginas por dia.

Resposta: Tabela completa

!:::::::::::
l 1  _ 2 _
r::::::w:::::w
l 5   _ 32 _
r::::::w:::::w
l 10  _ 16 _
r::::::w:::::w
l 16  _ 10 _
r::::::w:::::w
l 20  _ 8  _
r::::::w:::::w
l 160 _ 1  _
h::::::j:::::j
<F+>

<269>
 25. O gerente de uma lanchonete fez uma tabela como esta, relacionando o nmero de liquidificadores iguais utilizados para fazer suco de abacaxi e o tempo gasto para preparar a mesma quantidade desse suco. Observe a tabela e responda:
<P>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Liquidificadores (nmero)
2 coluna: Tempo (minutos)

!::::::::::
l 1 _ 2 _
r:::::w:::::w
l 8  _ 12 _
r:::::w:::::w
l 24 _ 4  _
h:::::j:::::j
<F+>

 a) Quando o nmero de liquidificadores triplica de 8 para 24, o que acontece com o tempo?
 b) O nmero de liquidificadores e o tempo gasto para preparar o suco so grandezas direta e inversamente proporcionais?
 c) Nessa situao, qual  o fator de proporcionalidade?
<P>
 d) Se forem utilizados 30 liquidificadores, quanto tempo ser gasto para preparar a mesma quantidade de suco?

 26. Em um passeio ciclstico, Fernando percorreu 36 km em 3 horas. Mantendo a mesma velocidade mdia, ele percorreu 6 km em meia hora. Responda s questes a seguir.
 a) Que tipo de proporcionalidade existe entre o espao percorrido e o tempo?
 b) Qual  o fator de proporcionalidade? 

 27. Em uma empresa, um prmio em dinheiro ser dividido entre os funcionrios que tiverem melhor desempenho durante o ano. Faa uma tabela como esta e complete-a de modo que o nmero de funcionrios com melhor desempenho e a quantia que cada um receber sejam grandezas inversamente proporcionais.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Funcionrios (nmero)
2 coluna: Quantidade recebida por funcionrio (em R$)

!::::::::::::::::::
l 1   _ 2       _
r:::::::w:::::::::::w
l 2    _ 5.000,00 _
r:::::::w:::::::::::w
l 4    _ '''       _
r:::::::w:::::::::::w
l 8    _ '''       _
r:::::::w:::::::::::w
l 10   _ '''       _
r:::::::w:::::::::::w
l 16   _ '''       _
h:::::::j:::::::::::j
<F+>
<R->

 Seo + (mais)

 Biscoitos Delcia

  Com a receita a seguir, Dad faz biscoitos Delcia.

<R+>
 Biscoitos Delcia
 Ingredientes:
 4 ovos
 120 g de acar
 100 g de farinha
 80 g de manteiga

 Modo de fazer:
 Misture a farinha com a manteiga e...

  Copie a tabela e preencha-a corretamente:

<F->
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Ovos (unidade)
2 coluna: Manteiga g
3 coluna: Acar g
4 coluna: Farinha g
<P>
!:::::::::::::::::::::::
l 1 _ 2  _ 3  _ 4  _
r:::::w::::::w::::::w::::::w
l 4  _ 80  _ 120 _ 100 _
r:::::w::::::w::::::w::::::w
l 40 _ '''  _ '''  _ '''  _
r:::::w::::::w::::::w::::::w
l ''' _ '''  _ 30  _ '''  _
r:::::w::::::w::::::w::::::w
l ''' _ '''  _ '''  _ 300 _
r:::::w::::::w::::::w::::::w
l ''' _ 160 _ '''  _ '''  _
h:::::j::::::j::::::j::::::j
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<270>
 4 -- Regra de trs simples

  Podemos resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre duas grandezas com uma regra prtica, que chamamos regra de trs simples.
  Acompanhe e resolva este problemas: 
  Mantendo aberta uma torneira, ela despeja, em 3 minutos, 4 l de gua em um tanque. O tanque fica cheio em 5 horas.

<R+>
 wr
  Qual  a capacidade desse tanque?
<R->

  Podemos resolver o problema proposto de dois modos:
<R+>
 1 modo: O tipo da proporcionalidade que h entre as grandezas envolvidas  a proporcionalidade direta.

<F->
Mais tempo, mais volume de gua despejada...

!::::::::::::::::::::::
l Tempo _ Capacidade  _ 
l        _ l          _
r::::::::w::::::::::::::w
l 3 min _ 4           _
r::::::::w::::::::::::::w
l 5 h   _ ...          _
h::::::::j::::::::::::::j
<P>
1 h=60 min
5 h=560 min=300

!::::::::::::::::::::::
l Tempo _ Capacidade  _
l min  _ l          _
r::::::::w::::::::::::::w
l  3    _ 4           _
r::::::::w::::::::::::::w
l  300  _ 400         _
h::::::::j::::::::::::::j
<F+>
<R->

 A capacidade do tanque  de 400 
  litros.

<R+>
 2 modo: Usamos o que chamamos de regra de trs simples, na qual utilizamos um esquema em que o valor procurado  indicado por uma letra, por exemplo, *x*.
<P>
<F->
:::::::::::::::::::::
 Tempo  lCapacidade 
 `(min`)   l `(l`)         
:::::::::::::::::::::
 3      l  4              
 300    l  x                 
:::::::::::::::::::::
<F+>

 Mais tempo: mais litros para a mesma vazo.

 Tempo e capacidade, nessa situao, so grandezas diretamente proporcionais.

 #:cjj e 4~x so razes iguais
 #:cjj=4~x --  uma proporo.

 Resolvemos a proporo.
 3.x=4.#cjj
 x=#,.;c
 x=400 l
<R->

<271>
  Um motociclista viaja durante 3 horas.
  Ele vai da cidade de So Paulo a Ubatuba, uma cidade no lito-
<P>
ral paulista, com velocidade mdia de 80 km/h.

<R+>
 wr
  Para fazer o mesmo percurso em 4 horas, que velocidade mdia dever ser desenvolvida?
<R->

  Podemos resolver o problema proposto de dois modos:
 1 modo:

_`[{a moa diz_`]
  "Menos tempo, maior velocidade mdia para a mesma distncia."

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Tempo `(h`)
2 coluna: Velocidade mdia `(km/h`)
<P>
!:::::::::::::::::::::::
l 1      _ 2         _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 3       _ 80         _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 33=1 _ 3.3=240  _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 4.1=4 _ 2404=60 _
h::::::::::j:::::::::::::j
<F+>
<R->

  O mesmo percurso poder ser realizado em 4 horas, a uma velocidade, em mdia, de 60 km/h.

<R+>
 2 modo: Usamos uma regra de trs simples representando a velocidade mdia a ser calculada por *v*.

<F->
:::::::::::::::::::::::::::
 Tempo l Velocidade mdia 
 `(h`)    l `(km/h`)         
:::::::::::::::::::::::::::
 3     l  80              
 4     l  v                 
:::::::::::::::::::::::::::
<P>
Mais tempo, menor velocidade mdia para percorrer o mesmo espao.
<F+>

 Tempo e velocidade mdia, nessa situao, so grandezas inversamente proporcionais.

 3.80 e 4.v so iguais
 3.80=4.v
 v=#;*d
 v=60 km/h
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 28. Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m2. Se ele mantiver constante a razo entre o volume de tinta e a rea a ser pintada, quantos litros de tinta sero necessrios para recobrir 450 m2? 
 29. Um quintal pode ser revestido com 500 ladrilhos de 225 cm2 de rea cada um. Quantos ladrilhos de 900 cm2, cada um, seriam necessrios para recobrir esse quintal? 
 30. Um galpo pode ser construdo em 48 dias por 7 pedreiros. Quantos pedreiros, com o mesmo ritmo de trabalho, devero ser contratados para constuir o galpo em apenas duas semanas?

 31. Para encher 100 potes iguais so necessrios 12 l de creme.
 a) Qual  a quantidade de creme necessria para encher 175 potes iguais a esse? 
 b) Quantos potes podero ser enchidos com 3 l?

 32. Um avio vai do Rio de Janeiro a Recife em 2 horas e 40 minutos, em um voo sem escalas. Em uma das viagens, ocorreu um pequeno defeito em um motor e ele fez a viagem em 3 horas e 20 minutos,  velocidade mdia de 540 quilmetros por hora. Qual  a velocidade mdia com que ele realiza essa viagem em condies normais?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<272>
 5 -- Regra de trs composta

  Algumas situaes relacionam a variao entre trs ou mais grandezas. A anlise e a resoluo de problemas dessa natureza podem ser feitas por meio de uma regra de trs composta.
  Uma viagem de navio tem dois roteiros.
  Escolhendo o roteiro mais curto, um grupo de 5 pessoas pagou R$10.500,00 por 6 dias de viagem.

<R+>
 wr
  Quanto pagou um grupo de 8 pessoas que escolheu o roteiro de 11 dias, sabendo que o preo da viagem por dia  o mesmo para os dois roteiros?
<R->

  Este problema envolve as grandezas: quantidade de pessoas, tempo de viagem e preo.
  Vamos resolv-lo de dois modos:
 1 modo: Aritmeticamente.
<R+>
 Vamos, primeiro, procurar saber quanto pagar 1 pessoa por 1 dia de viagem.

 5 pessoas, por 6 dias, pagaram 10.500
 1 pessoa, por 6 dias, pagou 10.5005=2.100
 1 pessoa, por 1 dia, pagou 2.1006=350
 8 pessoas, por 1 dia, pagaram 350.#h=2.800
 8 pessoas, por 11 dias, pagaram 2.800.#aa=30.800
 
 O grupo de 8 pessoas pagou R$30.800,00 por 11 dias de viagem.
<R->

 2 modo: Algebricamente.
 Pessoas (nmero): 5 -- 8  
 Tempo (dias): 6 -- 11
 Preo (reais): 10.500 -- x
 Supondo que o nmero de dias no 
  varie:

<R+>
 Pessoas (nmero): 5 -- 8 
 Tempo (dias): 6 -- 11
 Preo (reais): 10.500 -- x

 Grandezas diretamente proporcionais: pessoas e preos.
 Mais pessoas, mais reais.

 Supondo que o nmero de pessoas no varie:
<R->

<R+>
 Pessoas (nmero): 5 -- 8 
 Tempo (dias): 6 -- 11
 Preo (reais): 10.500 -- x

 Grandezas diretamente proporcionais: tempo e preo.
 Mais dias, mais reais.
<R->

<273>
  Nessa situao, o preo  diretamente proporcional ao nmero de pessoas e diretamente proporcional ao tempo de viagem. Portanto, a 
<P>
 razo 10.500~x  igual ao produto da razo #?h pela razo #!aa.

 10.500~x=#?h.#!aa
 x=?10.500.#h.11*~?5.6*
 x=R$30.800,00

  Na resoluo algbrica, utilizamos o que chamamos de regra de trs composta.
  Estima-se que 20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintem um edifcio em 4 dias.

<R+>
 wr
  Nas mesmas condies, quantos dias seriam necessrios para que 6 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintassem o mesmo edifcio?
<R->

  Este problema envolve as grandezas: quantidade de pintores, tempo de trabalho por dia e tempo de durao da obra. A variao de uma dessas grandezas provoca a variao das demais. Acompanhe como 
<P>
 resolver esse problema de dois modos.
 1 modo: Aritmeticamente.
<R+>
 Vamos primeiro procurar saber em quantos dias 1 pintor, trabalhando 1 hora por dia, faria o trabalho.

 20 pintores trabalhando 6 h/dia pintam em 4 dias
 1 pintor trabalhando 6 h/dia pinta em 4.20=80 dias
 1 pintor trabalhando 1 h/dia pinta em 80.6=480 dias
 6 pintores trabalhando 1 h/dia pintam em 4806=80 dias
 6 pintores trabalhando 8 h/dia pintam em 808=10 dias

 Para 6 pintores pintarem o mesmo edifcio, trabalhando 8 horas por dia, sero necessrios 10 dias.
<R->
<P>
<R+>
 2 modo: Utilizando a regra de trs composta.
 Pintores (nmero): 20 -- 6 
 Tempo (horas por dia): 6 -- 8 
 Tempo de durao da obra (dias): 4 -- x

 Supondo que o nmero de horas por dia no varie:
<R->

<R+>
 Pintores (nmero): 20 -- 6 
 Tempo (horas por dia): 6 -- 8
 Tempo de durao da obra (dias): 4 -- x

 Grandezas inversamente proporcionais: pintores e tempo de durao da obra.
 Menos pintores, mais tempo.
<R->

<274>
<R+>
 Supondo que a quantidade de pintores no varie:

 Pintores (nmero): 20 -- 6 
 Tempo (horas por dia): 6 -- 8
 Tempo de durao da obra (dias): 4 -- x
<P>
 Grandezas inversamente proporcionais: tempo e tempo de durao da obra.
 Mais tempo, memos dias.
<R->

  Nessa situao, o tempo de durao da obra  inversamente proporcional ao nmero de pintores e ao tempo de trabalho por dia.
  O produto 20.6.4  igual ao produto 6.8.x:
 
 Portanto, 20.6.4=6.8.x 
 x=?20.6.4*~?6.8*
 x=10

  Paulo  representante de uma loja de utilidades domsticas.
  Ele costuma percorrer 1.260 km em 5 dias, viajando 6 horas por dia.

<R+>
 wr
  Em quantos dias ele percorrer 2.520 km, viajando 4 horas po dia?
<R->

  Acompanhe dois modos de resolver o problema proposto:
 1 modo: Aritmeticamente.

<R+>
 Vamos primeiro descobrir quanto tempo (frao do dia) Paulo gasta para percorrer 1 km, viajando 1 h/dia.

<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
1 coluna: Distncia `(km`) 
2 coluna: Tempo (horas por dia)
3 coluna: Tempo (dias)

1.260; 6; 5
1; 6; 51.260=#,beb do dia
1; 1; #,beb.6=#,db do dia 

Tempo que Paulo gasta para percorrer 1 km, viajando 1 h/dia. 

2.520; 1; #,db.2.520=60 dias
2.520; 4; 604=15 dias
<F+>
<P>
 Paulo levar 15 dias para percorrer 2.520 km, viajando 4 horas por dia.
<R->

<R+>
<F->
2 modo: Utilizando a regra de trs composta.

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Distncia `(km`)
2 coluna: Tempo (horas por dia)
3 coluna: Tempo (dias)

!::::::::::::::::::
l 1    _ 2 _ 3 _
r::::::::w:::::w:::::w
l 1.260 _ 6  _ 5  _
r::::::::w:::::w:::::w
l 2.520 _ 4  _ x   _
h::::::::j:::::j:::::j
<F+>
<R->

<275>
<R+>  
 Supondo que o nmero de horas por dia no varie:

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
<F->
1 coluna: Distncia `(km`)
2 coluna: Tempo (horas por dia)
3 coluna: Tempo (dias)

!::::::::::::::::::
l 1    _ 2 _ 3 _
r::::::::w:::::w:::::w
l 1.260 _ 6  _ 5  _
r::::::::w:::::w:::::w
l 2.520 _ 4  _ x   _
h::::::::j:::::j:::::j
<F+>

 Grandezas diretamente proporcionais: distncia e tempo
 Mais quilmetros, mais tempo.

 Supondo que a distncia no varie:
<R->

<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
<F->
1 coluna: Distncia `(km`)
2 coluna: Tempo (horas por dia)
3 coluna: Tempo (dias)
<P>
!::::::::::::::::::
l 1    _ 2 _ 3 _
r::::::::w:::::w:::::w
l 1.260 _ 6  _ 5  _
r::::::::w:::::w:::::w
l 2.520 _ 4  _ x   _
h::::::::j:::::j:::::j
<F+>

 Grandezas inversamente proporcionais: tempo (horas por dia) e tempo (dias)
 Menos horas por dia, mais dias.
<R->

  Nessa situao, o nmero de dias  diretamente proporcional  distncia e inversamente proporcional ao nmero de horas por dia; portanto, a razo 5~x  igual ao produto da razo #,.;!b.ebj pelo inverso da razo #!d, que  #f.
 
 Portanto, 5~x=#,.;!b.ebj.#f
 x=?5.2.520.#f*~1.260.#d*
 x=15 dias
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 33. Quatro trabalhadores colhem, em mdia, 200 caixas de laranjas em 5 dias, trabalhando em um certo ritmo. Quantas caixas de laranjas iguais a essas sero colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita? 
 34. Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade mdia de 75 quilmetros por hora, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90 quilmetros por hora, durante 5 horas por dia, em quantos dias iramos de uma cidade  outra? 
 35. Cludia tem em uma confeco 36 funcionrias que produzem em mdia 5.400 camisetas por dia, trabalhando 6 horas dirias. O vero trouxe novidades e muitas encomendas, e a fbrica passou a ter 96 funcionrias, produzindo 21.600 camisetas por dia. Quantas horas por dia elas passaram a trabalhar?
 36. A Pousada Primavera cobra R$1.000,00 para hospedar 4 pessoas por 5 dias. Quanto cobrar de 3 pessoas para hosped-las por uma semana?
 37. Trs torneiras iguais enchem um tanque de 5.000 l de capacidade em 10 horas. Fechando uma das torneiras, em quanto tempo as outras despejaro 3.000 l nesse tanque? 
 38. Em 50 dias, uma escola usou 6.000 folhas de papel para imprimir provas para 1.200 alunos. A escola tem, no momento, 1.150 alunos. Quantas folhas sero usadas durante 20 dias para imprimir provas semelhantes s anteriores?
 39. Uma fbrica produz 5.400 m de tecido de 90 cm de largura em 50 minutos, usando certa quantidade de fio. Quantos metros de tecido de 1 metro e 20 centmetros de largura seriam produzidos em 25 minutos com o mesmo tipo de fio?
<R->

<276>
 Troque ideias e resolva

  Observe esta ilustrao _`[no adaptada_`].
<R+>
  Qual ser a altura do garoto que est parado diante da porta? Faa uma estimativa.

  Agora tente chegar a um resultado mais prximo:
 a) Pesquise a altura de vrias casas de dois andares. Escolha uma delas.
 b) Mea a altura da casa de dois andares da figura dada.
 c) Que escala voc obteve?
 d) Mea a altura do garoto da figura e calcule sua altura 
<P>
  real, de acordo com a escala que voc obteve.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 40. Um dos pneus do carro de Paulo est com problema de vazamento. Ele perde 2,7 libras por (polegada)2 de presso de ar a cada 36 horas. Quantas libras por (polegada)2 de presso de ar ele perder em 5 dias?
 41. Para asfaltar 345 km de estrada, estima-se que uma equipe de 16 operrios leve 18 dias, trabalhando em um certo ritmo. Se forem contratados mais 8 operrios que trabalhem nesse mesmo ritmo, em quantos dias a nova equipe asfaltar o mesmo trecho de estrada?
 42. Mariana costuma digitar 24 linhas em 4 minutos. Ela digitou um relatrio em 1 hora e 15 minutos e imprimiu o texto em folhas de 18 linhas cada. Quantas pginas tem o relatrio?
 43. Lisa e Rute aproveitaram uma liquidao. Lisa comprou 18 camisetas e pagou o equivalente a 14 camisetas. Rute tambm comprou camisetas na mesma liquidao e pagou o equivalente a 49 camisetas. Quantas camisetas Rute comprou?
 44. O hodmetro do carro de Marcos marcava 472 km quando ele saiu em viagem, com o tanque cheio de combustvel. Aps rodar algumas horas, parou em um posto e completou o tanque. Ao pagar, observou que tinham sido colocados 35 l de combustvel e que o hodmetro marcava 815 km. Quantos quilmetros por litro 
<P>
  percorre em mdia o carro de Marcos?

 45. Nelson Silva  um piloto de sucesso na Frmula 1. Durante a ltima corrida, fez um percurso completo a uma velocidade mdia de 180 quilmetros por hora.
 a) Quantos quilmetros por minuto ele percorreu, em mdia, nessa corrida?
 b) Quantos metros por segundo ele percorreu, em mdia, nessa corrida?

 46. A Terra realiza sua rbita, ao redor do Sol, em 365 dias e 6 horas, o que corresponde a cerca de 1 ano. A esse movimento damos o nome de translao.
 a) A Terra realiza sua rbita a uma velocidade mdia de 30 quilmetros por segundo no seu movimento de translao. Quantos 
<P>
  quilmetros tem, aproximadamente, a rbita terrestre? 
 b) Se em certo dia, por alguma razo, ela passasse a uma velocidade mdia de 45 quilmetros por segundo, qual seria a durao do ano terrestre? (Observao: Suponha que 1 dia, que corresponde ao movimento de rotao, continue com 24 horas.) 
 
 47. A razo entre o nmero de moas e o nmero de rapazes de uma equipe que vai participar de um torneio  de 5 para 3. Se ao grupo se juntarem 3 moas, essa razo passa a ser 2 para 1. Quantas pessoas participam dessa equipe?
<R->

<277>
 Leitura + (mais)

 Proporcionalidade inversa

<R+>
_`[{duas crianas em uma gangorra; o menino, que  mais pesado que a menina, est no alto; a menina 
<P>
  diz: "Ganhei a aposta! Eu disse que levantaria voc."_`]
<R->

  E ento, voc est surpreso?
  Pois saiba que, no sculo III a.C., Arquimedes j dizia:
  -- D-me um ponto de apoio e eu levantarei o mundo!
  Essa  a propriedade das alavancas, que Arquimedes descobriu. Voc j deve ter utilizado essa propriedade, mesmo sem conhec-la.
  A alavanca pode ser um pedao de madeira, uma barra de ferro ou uma tbua, como, por exemplo, a das gangorras. O ponto de apoio  um objeto qualquer.
  Quanto mais distante do ponto de apoio for colocado um objeto de certa massa, maior ser a massa do objeto que ele equilibrar na outra ponta.
  Por exemplo, se colocarmos uma esfera de 4 kg a 2 m do ponto de apoio, a que distncia desse ponto 
<P>
 devemos colocar outra esfera de 1 kg para que a gangorra fique equilibrada?

<R+>
 Massa `(kg`): 4 -- 1
 Distncia `(m`): 2 -- x
  
 Grandezas inversamente proporcionais: massa e distncia
 Menos massa, maior distncia.

 4.2=1.x
 8=x
 1 kg poder ser colocado a 8 m do ponto de apoio.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Se eu colocar 4 kg a 1 m do ponto de apoio..."

_`[{o menino diz_`]
  "... 1 kg dever ser colocado a 4 m."

<278>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. No tringulo {m{n{o, *y* representa a medida de :?{p{o{m* e :,?{o{p*  a bissetriz do ngulo :?{n{o{m*.
 a) Qual  a maior medida de :?{n{o{m*? 
 b) Qual  o valor de *y*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 2. As abscissas dos pontos M e N so respectivamente -5 e 12. Qual  a abscissa do ponto mdio do segmento de reta {m{n? 
 3. Qual  o valor numrico da expresso algbrica y2-4y+5, para y=`(-#:b`)?
 4. Neste trapzio, a letra *x* representa uma medida em centmetros. O permetro desse trapzio  49 cm. Qual  o valor de *x*?

<F->
             x
       cccccccccccc
                    
x+2                  x+2
                      
                       
  ----------------------
            2x-5           
<F+>

 5. Um granjeiro levou para a feira uma quantidade de ovos. Vendeu #,c do que tinha e #;c do que restou se quebraram. Mesmo assim, ele ainda ficou com 120 ovos. Quantos ovos o granjeiro levou para a feira? 
 6. O volume de uma bola feita de madeira macia  0,5 cm3. Qual  a massa dessa bola, sabendo-se que a densidade da madeira  0,93 g/cm3? 

 7. Vtor e Rafael brincavam de tiro ao alvo em um parque de diverses. Cada um deu trs tiros. Vtor acertou em trs nmeros diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 7 e com fator de proporcionalidade igual a 5. Por sua vez, Rafael acertou em trs nmeros inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 7 e com fator de proporcionalidade igual a 42.
 a) Quantos pontos fez cada um?
 b) Quem venceu? Com quantos pontos a mais?

 8. No campeonato interclasses de vlei, o 7 ano C disputou 12 partidas e venceu 8. Qual o porcentual de vitrias obtidas pelo 7 ano C? 
 9. Antnio, Severino e Joo so frentistas de um posto de gasolina. Eles dividiram R$630,00, que ganharam no final de um ms como gorjetas, em partes inversamente proporcionais s faltas que tiveram no ms. Antnio faltou 1 dia, Severino, 3 dias, e Joo, 6 dias. Qual a quantia que coube a cada um?
 10. Maria utiliza 2 dzias de ovos para fazer 8 caixas de quindins, com 6 quindins iguais em cada caixa. Quantas caixas de quindins iguais a essas, com 12 quindins em cada caixa, sero obtidos com 3 dzias de ovos? 
 11. Uma mquina tem duas rodas dentadas que se engrenam. A maior tem 30 dentes e a menor, 18. Quantas voltas d a menor enquanto a maior d 150 voltas?
<P>
 12. No tringulo, determine as medidas *a* e *b*.

<F->
            
             
          65
               
                
                 
                  
121 a          b    
::::j::::::::::::::::h
<F+>

<279>
_`[{para as atividades 13 e 14, pea orientao ao professor_`]

 13. Na ilustrao _`[no adaptada_`], suponha que a pedra tenha 120 kg e esteja a 3 m do ponto de apoio. A quantos metros dever ser colocado um objeto de 30 kg para levantar essa pedra? 
 14. Nestas figuras _`[no adaptadas_`], aquela que tem um eixo de simetria destacado : 
<P>
 15. Um aluno obteve estas notas mensais de Matemtica durante 9 meses: 5,0; 6,5; 4,5; 7,0; 6,0; 5,5; 8,0; 4,5; 7,0. A sua mdia foi: 
 a) 5 
 b) 5,5 
 c) 6
 d) 7

 16. Uma empresa tem trs scios. A um dos scios coube a metade do lucro anual, o outro recebeu um tero desse lucro mais R$240.000,00 e o terceiro recebeu R$760.000,00. O lucro da empresa foi: 
 a) R$2.000.000,00
 b) R$4.000.000,00
 c) R$5.000.000,00
 d) R$6.000.000,00

 17. Nesta tabela, os nmeros da coluna B so diretamente proporcionais aos da coluna A:
<P>
<F->
!:::::::::
l A _ B  _
r::::w:::::w
l 3 _ 15 _
r::::w:::::w
l n  _ 80 _
h::::j:::::j
<F+>

 O valor de *n* :
 a) 20 
 b) 16 
 c) 30
 d) 45

 18. (Fundao Carlos Chagas) Oito funcionrios produzem 40 bicicletas em cinco dias de trabalho. Para o mesmo perodo, ou seja, cinco dias de trabalho, quantas bicicletas seriam produzidas por dez funcionrios?
 a) 55 
 b) 57 
 c) 60
 d) 50
<P>
 19. Um prmio acumulado da megassena pagar R$28.000.000,00. Nessa situao, a sentena verdadeira :
 a) duplicando o nmero de acertadores, duplica a quantia que caber a cada um;
 b) a quantia que caber a cada um  inversamente proporcional ao nmero de acertadores;
 c) a quantia que caber a cada um  diretamente proporcional ao nmero de acertadores;
 d) a quantia que caber a cada um  sempre a mesma, no importando o nmero de acertadores.

 20. Observe este grfico:

_`[{grfico *Percentual de pessoas que no eram estudantes na populao de 7 a 14 anos de idade, por Grandes Regies -- 2004* adaptado_`]
<F->
Legenda: 
n -- Norte  
nd -- Nordeste 
sd -- Sudeste 
s -- Sul 
c -- Centro-Oeste 

l
l5,1
l              2,8
l  3,9        
l        2,2
l   1,9   
l        
l        
rgg::gg::gg::gg::gg
 n   nd  sd  s   c
<F+>

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenao de Trabalho e Rendimento. *Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclio 2004*.

 A diferena entre os percentuais da regio onde h mais jovens fora da escola e da regio onde h menos jovens fora da escola : 
<P>
 a) -0,3%
 b) 1,2%
 c) 3,2%
 d) 3,5%
<R->

               oooooooooooo
<P>
<280>
 Unidade 10

 Porcentagem e juro simples

<R+>
_`[{tirinha em trs quadrinhos_`]
 1: Um moo diz: "Oi, Cl, me empresta R$1.000,00?"; Cl diz: "Por quanto tempo?"
 2: O moo continua: "Bem... 2 meses... ... talvez 4!"; Cl responde: "Ento,  melhor me devolver com juro."
 3: O moo diz: "Juro?!?"

_`[{uma moa est em uma loja para comprar a TV LCD que est " vista por R$1.250,00 ou 18
  R$113,50"; o vendedor diz: "Comprando a prazo fica em... R$2.043,00." e a moa pergunta: "E qual a taxa de juro?"_`]
<R->

  Certamente voc j presenciou situaes como as mostradas nas ilustraes desta pgina. Elas envolvem aplicaes dos conceitos 
<P>
de equaes, porcentagem e proporcionalidade que j estudamos.

<281>
<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Cena de prego na bolsa de valores de So Paulo (SP), em que a alta e a queda de aes so expressas em porcentagens.
<R->

  Termos como juro e porcentagem fazem parte do vocabulrio cotidiano nas relaes comerciais de instituies financeiras, bolsas de valores e de grande parte dos cidados. No mundo dos negcios, esses termos so utilizados quando se fala em lucro, abatimento, desconto, prejuzo, comisso, impostos, emprstimos e outros assuntos.
  Nesta unidade vamos aprender a resolver situaes que envolvem regras de sociedade, porcentagem e juro simples. Esses temas fazem parte da Matemtica Financeira.
<R+>
  Descreva uma situao em que uma pessoa paga juro.
  Qual o significado de ter um desconto de 10% sobre uma quantia em dinheiro?
<R->

<282>
 1 -- Porcentagem e problemas

_`[{a menina diz_`]
  "Voc sabia que a expresso por cento vem do latim *per centum*?"

_`[{o menino diz_`]
  "E voc sabia que *per centum* significa por cento?"

_`[{a menina continua_`]
  "Ento,  por isso que 45%  45 em 100 e o mesmo que #?ajj!"

  Pelo estudo sobre porcentagem, em unidades anteriores, sabemos que a razo #?ajj  uma porcentagem ou taxa percentual, ou apenas taxa, como  chamada no mundo dos negcios, e  indicada por 45%.
<P>
<R+>
 wr
  Segundo o anncio a seguir, em uma compra no valor de R$100,00, de quanto  o desconto?

_`[{anncio: *Grande Liquidao; Somente este ms! Tudo com 45% de desconto*_`]
<R->

  O velho Chico, como  conhecido o rio So Francisco,  o maior rio totalmente brasileiro.
  Ele tem uma extenso de 2.900 km e banha cinco estados: Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e Sergipe. Aproximadamente 26% de sua extenso atravessa as regies mais ridas desses estados.

<R+>
_`[{mapa: *Rio So Francisco* no adaptado_`]

 wr
  Quantos quilmetros do velho Chico banham as regies mais ridas desses estados?
<R->
<283>
  Veja como podemos resolver o problema proposto: 2.900 km  a extenso total do velho Chico.

<R+>
 26% da extenso banha a parte mais rida dos estados.
 26% de 2.900=0,26.2.900=754
 ou: 26% de 2.900=#;!ajj.2.900=
  =?26.2.900*~100=754
<R->

  Cerca de 754 km do velho Chico banham as terras mais ridas dos estados de Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e Sergipe.
  Na escola de Pedro h uma quadra de esportes.
  A quadra, com uma rea de 140 m2, corresponde a 28% da rea do terreno da escola.

<R+>
 wr
  Qual  a rea do terreno onde est a escola de Pedro?
<R->
<P>
  Podemos resolver o problema proposto de vrias maneiras. Veja trs delas:
<R+>
  Utilizando a proporcionalidade:
 28% da rea corresponde a 140 m2.
 1% da rea corresponde a `(14028`)m2=5 m2.
 100% da rea corresponde a `(100.#e`)m2=500 m2 -- rea do terreno.

  Usando uma equao do 1 grau com uma incgnita:
 Representamos a rea do terreno pela letra *x*:
 28% da rea de um terreno corresponde a 140 m2.
 0,28.x=140
 Resolvemos a equao: 0,28.x=140 
 x=140~0,28
 x=14.000~28
 x=500
<P>
  Usando uma proporo: 28%=
  =#;"ajj, em que 100 representa a rea de todo o terreno.
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Para resolver a proporo, aplicamos a propriedade fundamental das propores."

<R+>
 #;"ajj=140~x (proporo)
 28.x=140.#ajj
 x=?140.#ajj*~28=500
 x=500
  
 O terreno da escola tem 500 m2.
<R->

<284>
  A produo de caf da fazenda So Jorge, em determinado ano, foi de 800 sacas.
  No ano seguinte, as condies climticas foram mais favorveis e a produo subiu para 1.300 sacas de caf.
<P>
<R+>
 wr
  De quanto por cento foi o aumento da produo nesse ano, em relao  do ano anterior?
<R->

  Vamos resolver esse problema de duas maneiras.
<R+>
  Calculando a razo do aumento da produo em relao  produo do ano anterior:
 800 sacas -- produo de um ano
 1.300 sacas -- produo do ano seguinte
 1.300-800=500 sacas -- aumento da produo
 
 #?hjj=0,625
 Multiplicamos esse resultado por 100, e obtemos o percentual de aumento: 
 0,625.#ajj=62,5%

  Determinando o percentual de 1.300 sacas em relao a 800 sacas:
<P>
 Razo entre as duas produes.
 #,.:hjj=#,:h=1,625
 1,625.#ajj=162,5%
 Percentual correspondente  produo do ano em relao  do ano anterior.
<R->

  Como 100% representa a produo do ano anterior, o aumento da produo foi de: 

162,5%-100%=62,5%
 
  O aumento da produo desse ano em relao  do ano anterior foi de 62,5%.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Nos #=os anos da escola de Mariana, 69 em cada 100 alunos so meninas. Qual o percentual de meninas que estudam nos #=os anos dessa escola?
<P>
 2. Neste ano, o time de vlei de uma escola venceu 75% dos jogos que disputou. Tendo sido 40 os jogos disputados, quantos deles o time venceu?
<285>
 3. Uma loja est vendendo televisores com desconto de 27,5% se o cliente pagar  vista. Qual  o desconto em cada R$100,00 em uma compra  vista de um televisor nessa loja? 

 4. Copie e complete escrevendo na forma percentual:
 a) #?ajj  
 b) 35 em 100 
 c) 0,56 
 d) 0,045 

 5. Este crculo foi dividido em oito partes iguais. Anote apenas os nmeros que representam a parte pintada nessa figura:

_`[{figura adaptada_`]
 Um cculo dividido em 8 partes iguais e 5 partes esto pintadas. 
 a) #!h
 b) #?h
 c) 0,625
 d) #=h
 e) #!;?a.jjj
 f) 62,5%

 6. A classe de Celso tem 45 alunos, e 27 deles foram promovidos em Matemtica. Qual  o percentual de aprovao dessa classe em Matemtica? 
 7. Uma frota de nibus foi acrescida de 44 veculos. Como a frota era de 352 nibus, que percentual da frota esse acrscimo representa?
 
8. Azuis na frente

_`[{figura adaptada_`]
 "Para cada 100 meninas nascem 11 meninos (China), 107 meninos (Espanha) e 105 meninos (Brasil). Para cada 100 
<P>
  meninas -- 106 meninos (mdia no mundo)."

 Fonte: *Veja*, 22 set. 2004.

 a) Em qual dos pases destacados nascem mais meninos? 
 b) Qual  a taxa percentual aproximada de nascimento de meninas em relao  de meninos, em cada um desses pases?
 c) Qual  a taxa percentual mdia aproximada de nascimento de meninas em relao  de meninos no mundo? 
 d) Segundo essa reportagem, se em um determinado perodo tivessem nascido no Brasil 200.000 meninas, quantos meninos teriam nascido?

 9. Clia comprou um objeto, em uma liquidao, ganhando 10% de desconto sobre seu valor. Se ela pagou R$54,00, qual era o preo inicial desse objeto?
<P>
 10. Em uma sala de 40 alunos, faltaram 15. Qual  o percentual dos alunos presentes? 
 11. Uma escola tem 560 alunos no Ensino Mdio e 840 alunos no Ensino Fundamental. Qual  o percentual de alunos do Ensino Fundamental em relao ao total de alunos?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Um criador de gado bovino comeou sua criao com 212 cabeas de boi. Aps um ano, sua boiada havia aumentado 300%.
<R+>
  Quantas cabeas de boi havia em sua criao no final desse perodo?
   possvel determinar 300% de 212 cabeas multiplicando 212 por um nmero racional. Que nmero  esse? 
  Quantas cabeas de boi haveria, com um aumento de 500%?

<286>
<P>
 12. Na Farmcia Cura Tudo, aposentados recebem desconto de 15% sobre o preo de cada remdio. O sr. Renato, a sra. Marta e a sra. Isabel so aposentados.
 a) O sr. Renato pagou R$17,00 por um remdio. Qual era o preo inicial desse remdio?
 b) A sra. Marta comprou remdios que custavam, sem desconto, R$9,60 e R$13,40. Que quantia ela obteve de desconto? Quanto ela gastou?
 c) A sra. Isabel comprou vrios remdios, obtendo desconto de R$9,90. Calcule o preo dos remdios sem o desconto de 15%.

 Problema resolvido

 13. O patinete da figura _`[no adaptada_`] custava R$175,00 em uma liquidao. Trs meses depois, seu preo sofreu um aumento de 15%. Quanto o patinete passou a custar? Podemos resolver o problema de vrios modos. Veja dois deles:

 1 modo
 Vamos calcular o valor do aumento:
 15% de 175=0,15.#age=26,25
 O preo do patinete aps o aumento passou a ser: 175,00+
  +26,25=201,25.

 2 modo
 Podemos obter uma regra prtica para calcular o novo preo aps o aumento:
 novo preo =100% do preo antigo +15% do preo antigo
 novo preo =115% do preo antigo
 novo preo =115%.175
 novo preo =1,15.#age=201,25 (multiplicamos o preo antigo por 1,15.)
 Resposta: O preo do patinete aps o aumento  R$201,25.
<P>
 14. Uma mercadoria que custava R$236,00 teve um aumento de 20%. Qual  o novo preo dessa mercadoria? 
 15. Nos restaurantes  comum acrescentar  conta 10% do total de gastos, que  a taxa de servio ou gorjeta. A conta de Renato ficou em R$36,00, sem a taxa de servio. Quanto ele vai pagar se incluir a gorjeta?
 16. Que percentual da rea do retngulo _`[no adaptado_`] ocupa cada uma das partes coloridas?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
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<F+>
<R->

 Seo + (mais)

 Fazendo negcios

  Rafael vendeu sua prancha de surfe e seu *skate*, cada um por R$91,00. Com a venda do skate, ele teve um lucro de 30% sobre seu custo inicial e, com a venda da prancha, teve um prejuzo de 30%, tambm sobre seu custo inicial.

_`[{o menino pensa_`]
  "Lucro  o que ganhei a mais. Prejuzo  o que perdi"

<R+>
  Ao fazer esse negcio, Rafael teve lucro ou prejuzo?
  De quanto foi o lucro ou o prejuzo de Rafael?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<287>
 2 -- Juro simples

  Observe o que Pedro, Clia e Lucas dizem:

_`[{pedro diz_`]
  "Apliquei uma quantia em dinheiro e recebo juro pelo tempo de aplicao."
<P>
_`[{clia diz_`]
  "Fiz um emprstimo de uma quantia. Pago juro pelo tempo que durar o emprstimo."

_`[{lucas diz_`]
  "Comprei em prestaes. Pago juro de acordo com o nmero de prestaes."

<R+>
  Se Pedro recebe juro de uma instituio financeira,  porque ele emprestou dinheiro a essa instituio. Isso significa que Pedro aplicou uma quantia nessa instituio financeira.
  Se Clia est pagando juro a uma instituio financeira,  porque ela fez um emprstimo de uma quantia em dinheiro dessa instituio financeira.
  Se Lucas est pagando juro a uma loja,  porque ele parcelou uma dvida que possui com a loja.
<R->

  Essas so algumas situaes que envolvem o conceito de juro. Ele est presente em toda situao em que h uma compensao em dinheiro pelo tempo que uma pessoa ou instituio fica com alguma quantia emprestada.

<R+>
 wr
  Pedro aplicou R$18.000,00 em um banco, a uma taxa de juro simples de 15% ao ano. Aps 2 anos de aplicao, ele recebeu R$5.400,00 de juro simples. Que informaes constam desse texto?

 Um dos objetos envolvidos nessa situao  o dinheiro.
<R->

  Neste problema, encontramos alguns termos que so muito frequentes na Matemtica Financeira:
<R+>
  R$5.400,00  o pagamento efetuado pelo banco por ter "emprestado" o dinheiro de Pedro.  o que chamamos de juro simples.
<P>
  R$18.000,00  o total de dinheiro aplicado por Pedro, que chamamos de capital.
  15% ao ano  o percentual anual de aplicao, que chamamos de taxa de juro simples anual.
  2 anos  o perodo de aplicao, que chamamos de tempo.
<R->

  Quando se estabelece uma taxa de juro, fixa-se tambm a durao de cada perodo de aplicao. Assim, 15% ao ano significa 15% sobre um valor aplicado no perodo de um ano.

<R+>
 Chamamos de juro simples a quantia calculada sobre a aplicao de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais perodos de aplicao. Nesse caso, ao final de cada perodo de aplicao  calculado o juro, mas ele no  incorporado ao capital, mesmo que o dinheiro continue aplicado.

<288>
<P>
 Clculo de juro simples

 wr
  Sandra aplicou R$2.000,00 por 3 anos a uma taxa de 20% ao ano. Quanto ela recebeu de juro simples ao final desse perodo? 
<R->

  O juro simples que Sandra recebeu por ano corresponde a 20% de R$2.000,00.

<R+>
 capital aplicado -- 2.000
 tempo de aplicao -- 3 anos
 taxa de juros simples -- 20% ao ano

 juro simples referente ao perodo de 1 ano =20% de 2.000=0,20.2.000=400
 juro simples obtido em 3 anos =3.#djj=1.200
<R->

  Aps 3 anos, Sandra recebeu R$1.200,00 de juro simples.
  Podemos encontrar uma frmula para calcular o juro simples, observando a resoluo do problema anterior.

<R+>
 1.200=2.000.#j,bj.3

 1.200 -- juro
 2.000 -- capital
 0,20 -- taxa de juro simples (anual)
 3 -- tempo (anos)

 juro = capital " taxa de juro simples anual " tempo
<R->

  Usando as letras *j* para juro, *c* para capital, *i* para taxa de juro simples anual e *t* para tempo de aplicao, temos: 

 j=c.i.t

  A resoluo do problema anterior usando a frmula ficaria assim:
<P>
<R+>
 A taxa percentual pode ser escrita na forma decimal ou fracionria.
 j -- juro simples por 3 anos

 j=2.000.#bj%.3 
 j=2.000.#;ajj.3
 j=2.000.#j,bj.3 ou
 j=2.000.#;ajj.3=1.200
 j=1200

 wr
  Clia fez um emprstimo de R$4.000,00 em um banco, por 9 meses, a uma taxa de 12,5% ao ano. Quanto ela pagou de juro?
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "O perodo de aplicao deve estar na mesma unidade de tempo que a taxa de juro simples."

<R+>
 tempo `(t`) -- 9 meses em 12 meses -- t=#*ab
 j=c.i.t 
 j=4.000.#ab,e%.#*ab
<P>
 9 meses correspondem a #*ab do ano.
 j=4.000.#,;?ajj.#*ab=?40.#abe.
  .3*~4
 j=10.#abe.3 
 j=375
 
 Clia pagou R$375,00 de juro.
<R->

<289>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 17. Maria aplicou um capital de R$8.000,00  taxa de juro simples de 18% ao ano, durante 5 anos.
 a) Que quantia de juro simples ela recebeu, referente ao perodo de 5 anos? 
 b) Que quantia de juro simples Maria recebeu, referente ao perodo de 1 ano?
<P>
 Problema resolvido

 18. Renato aplicou certo capital por 2 anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano, recebendo R$300,00 de juro simples. Calcule o capital aplicado por Renato. Podemos obter a resposta usando a frmula j=c.i.t.

 j=300
 t=2
 i=25%

 300=c.25%.2
 300=c.0,25.2
 300=c.0,50
 c=#:j,ej
 c=600

 Resposta: O capital aplicado por Renato foi de R$600,00.

 19. Raquel pediu um emprstimo a um banco a uma taxa de juro simples de 25% ao ano. O emprstimo deve ser pago no final de 3 anos. O total de juro simples a ser pago  de R$3.000,00.
 a) Quanto Raquel pagar de juro simples ao final de 1 ano? 
 b) Qual foi o total do emprstimo que ela fez?

 Problema resolvido

 20. Eduardo comprou um televisor que custava R$600,00, financiado em 2 anos. O juro simples cobrado pela financeira foi de R$342,00. Calcule a taxa de juro simples anual fixada pela financeira. Podemos obter a resposta usando a frmula j=c.i.t.

 c=600
 t=2
 j=342

 342=600.i.2
 342=1.200.i
 i=#:;a.bjj=0,285
 0,285.#ajj=28,5%
 i=28,5%

 Resposta: A taxa de juro fixada foi de 28,5%.

 21. Um capital de R$80.000,00 foi aplicado durante 5 anos e rendeu R$82.400,00 de juro simples.
 a) Qual foi a quantia de juro simples, referente ao perodo de 1 ano, que esse capital rendeu? 
 b) Qual foi a taxa de juro simples anual?

<290>
 22. Mnica pediu a um banco um emprstimo de R$1.200,00 por 2 anos, a uma taxa de juro simples de 27% ao ano.
 a) Qual foi a quantia de juro simples, referente ao perodo de 1 ano, que Mnica pagou? 
 b) Qual foi a quantia de juro simples, referente ao perodo de 2 anos, que ela pagou? 
<P>
 c) Aps 2 anos, qual foi o total pago por Mnica?

 23. Carolina comprou um aparelho de TV a prazo e, aps 8 meses, pagou R$380,00 de juro simples, a uma taxa de juro de 24% ao ano. Calcule o preo que ela pagaria pelo aparelho de som se o tivesse comprado  vista. 
 24. Marco quer aplicar certa quantia durante um semestre, a uma taxa de juro simples anual de 32%, e receber R$8.400,00 de juro. Calcule a quantia que ele dever aplicar. 
 25. Um carro usado custa,  vista, R$14.000,00. Cristina quer comprar esse carro e pag-lo em 6 meses com uma taxa de juro simples de 5% ao ms. Quanto Cristina pagar pelo carro?
<R->
<P>
 Leitura + (mais)

 A devastao da Amaznia

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Na Amaznia, as rvores so retiradas de forma predatria. A maior parte da madeira cortada vira carvo ou apodrece.
<R->

  A Amaznia, a maior e mais rica floresta tropical do mundo, estende-se por nove pases da Amrica do Sul, incluindo o Brasil, que possui 60% do total da mata. Ela abriga um dos recursos naturais mais utilizados, que  a madeira. Na Amaznia, as rvores tm sido retiradas de forma predatria h mais de 300 anos. Nos ltimos 30 anos a explorao da madeira tem se tornado cada vez mais intensa e predatria.
  Dados de 2004 mostram que, nesse ano, foram extrados 24,5 milhes de metros cbicos de toras de madeira, equivalentes a 6,2 milhes de rvores. Desse total de madeira cortada apenas 42% so vendidos e transformados em casas e mveis. Os outros 58% viram carvo ou, simplesmente, lixo.

<R+>
<291>
 Desperdcio e ilegalidade

 Nove em cada dez toras retiradas da Amaznia so resultados de extrao ilegal
 82% -- ilegais
 16% -- legais, mas predatrias (no cumprem o plano de manejo.)
 2% -- legal e no predatria
 Cerca de trs quintos da madeira cortada so desperdiados
 42% -- vendidos
 58% -- viram carvo ou viram lixo

 Fonte: *Imazon* -- 2008
<R->
<P>
  O Brasil no  apenas o maior produtor mundial de madeira tropical, mas tambm o maior consumidor. Assim, no s os madeireiros, fazendeiros gananciosos, e o governo, negligente na fiscalizao, so responsveis pela devastao. Ns, consumidores brasileiros de madeira, temos tambm nossa dose de culpa: compramos 64% de toda a madeira processada, oriunda da Amaznia.
  Por lei, apenas rvores grandes e de valor comercial podem ser derrubadas, como forma de garantir a recuperao da rea explorada em alguns anos. Se todos seguissem essas determinaes, seria possvel retirar da Amaznia cerca de 1 bilho de metros cbicos de madeira por ano, sem nunca esgotar a floresta.
<P>
 A preocupao chegou ao topo

  O aquecimento terrestre verificado nos ltimos anos , em parte, uma das consequncias do desmatamento das florestas.

<R+>  
 Uma pesquisa da Universidade de Zurique mostra que, por causa do aquecimento global, os Alpes esto derretendo em ritmo acelerado. Fenmeno semelhante atinge as montanhas do Himalaia (onde est o Everest, o pico mais alto do mundo) e os Andes, na Amrica do Sul.

 Alpes -- Os cumes das geleiras diminuram 18% de 1985 a 2000. No vero passado, eles perderam 3 metros. H dez anos, s perdiam 70 centmetros no vero.
 Himalaia -- As geleiras das montanhas esto derretendo e podem provocar inundaes. Quarenta e quatro lagos do principal parque 
<P>
  da regio esto sob risco de transbordamento.
 Andes -- O ritmo de derretimento das geleiras passou de 4 metros, a cada vero, para 30 metros atualmente.

 Fonte: Universidade de Zurique e ONU.
 Fonte: *Veja*, 24 nov. 2004.
<R->

<292>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Observe este tringulo _`[no adaptado_`] e responda:
 a) Em quantas partes iguais ele foi dividido? 
 b) Dessas partes, quantas esto pintadas de azul?
 c) Que percentual da figura est pintado de azul?
 d) Que percentual da figura est pintado de amarelo? 
<P>
 e) Que percentual da figura no est pintado de azul nem de amarelo? 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

 2. Em uma turma mista havia 40 estudantes. Certo dia faltaram 25% dos rapazes, diminuindo para 36 o nmero de estudantes presentes.
 a) Quantos rapazes estavam na classe naquele dia? 
 b) Qual era o nmero de moas presentes naquele dia? 
 c) Que percentual dessa turma era do sexo masculino?
 d) Que percentual dessa turma era do sexo feminino?
 
 3. Para a eleio da diretoria do grmio de uma escola, candidataram-se 10% dos 900 alunos. Foram eleitos 10% dos candidatos.
<P>
 a) Quantos alunos eram candidatos? 
 b) Quantos alunos foram eleitos? 
 c) Que percentual dos alunos da escola os eleitos representavam? 
 d) Quanto por cento  10% de 10% de 900? 

 4. Um capital de R$2.500,00, aplicado a uma taxa de juro simples de 55% ao ano, durante certo perodo, rendeu R$5.500,00.
 a) Qual foi a quantia de juro simples que o capital rendeu, referente ao perodo de 1 ano?
 b) Por quanto tempo foi necessrio manter a aplicao para obter esse juro?

 5. A praa da matriz na cidade de Maria tem uma forma triangular com rea de 4.536 m2 de rea. Observando um dos lados, que tem 64,80 m de comprimento, qual  a medida da altura relativa a esse lado?

 6. Resolva estas equaes:
 a) 4x-3.`(2-x`)=64+2x 
 b) y~5-3y=2-8y 
 c) #;c-x~2=#?f+x
 d) 4x-?2x-3*~2=6x~5

 7. Pedro, Joo e Laura receberam uma quantia em dinheiro por um trabalho que realizaram juntos. Dessa quantia, Laura ficou com R$1.116,00, Joo com 35% e Pedro com 20%.
 a) Qual foi a quantia paga pelo trabalho que eles realizaram juntos? 
 b) Quanto recebeu Joo? 

 8. Renata financiou a compra de um terreno no valor de R$13.000,00 por um certo perodo, a uma taxa anual de juro simples de 30%, e pagou R$9.750,00 de juro simples. Em quanto tempo ela pagou esse terreno? 
 9. Las aplicou R$720,00 durante um bimestre, no final do qual recebeu R$765,00, incluindo o capital aplicado. Determine a taxa de juro simples anual da aplicao feita por Las. 
 10. Este  um problema muito conhecido, resolva-o. Um tijolo tem massa 1 kg a mais que meio tijolo. Qual a massa de um tijolo e meio? 

 11. Neste tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], os ngulos :B e :C tm medidas iguais. Alm disso, ^c?{b{m*  bissetriz de :B.

 x  medido em graus.

 a) Qual  o valor de *x*? 
 b) Quais so as medidas dos ngulos do trimgulo {a{b{c?

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

<293>
<P>
 12. Em um terreno retangular, o comprimento  o triplo da largura. Representando seu permetro por *p* e a largura por *x*, escreva:
 a) uma equao do 1 grau com duas incgnitas para o permetro desse retngulo; 
 b) trs pares ordenados `(x,y`) que sejam solues dessa equao.
 c) Quais devero ser as medidas dos lados para que o permetro seja 340 metros?

 13. (Saresp) Na feira, um queijo foi dividido em 4 partes iguais. A quarta parte do queijo custa R$2,00. Quanto se pagaria por metade desse queijo? 
 a) R$3,00
 b) R$4,00
 c) R$6,00
 d) R$8,00

 14. Adriana fez um emprstimo a uma taxa de juro simples anual de 9,4%. Essa taxa corresponde a:
 a) #*ajj
 b) #*aj
 c) 0,94
 d) 0,094

 15. Em um grande aqurio vivem, entre peixes e polvos, 62 animais. Se colocarmos um polvo a mais, a quantidade de peixes ser o dobro da de polvos. Nesse aqurio vivem: 
 a) 31 peixes e 31 polvos.
 b) 20 peixes e 42 polvos.
 c) 42 peixes e 20 polvos.
 d) 32 peixes e 30 polvos.

 16. (Saresp) Um caminho suporta cargas de at 3.000 quilos. Qual  o maior nmero de caixas que ele pode transportar, se cada uma delas pesa 120 quilos? 
 a) 25
 b) 26
 c) 27
 d) 28
<P>
 17. (Saresp) O Teatro Martins Pena tem 243 poltronas. O nmero de poltronas do teatro equivale a: 
 a) 34
 b) 35
 c) 36
 d) 37

 18. (Saresp) A mdia do 1 bimestre dos alunos do Colgio Aprender foi calculada da seguinte forma: ?2P+T*~3, em que P  a nota da prova e T a nota do trabalho. Joo tirou 7,0 na prova e 8,5 no trabalho. Assim, sua mdia no 1 bimestre foi: 
 a) 5,0
 b) 7,5
 c) 7,8
 d) 8,0

_`[{para as atividades 19 e 20, pea orientao ao professor_`]

 19. (Saresp) O movimento completo do limpador do para-brisa de um carro corresponde a um ngulo raso. Na situao descrita na figura _`[no adaptada_`], admita que o limpador est girando em sentido horrio e calcule a medida do ngulo que falta para que ele complete o movimento completo.
 a) 50 
 b) 120 
 c) 140
 d) 160

 20. (Saresp) Esta fotografia _`[no adaptada_`]  de uma pirmide de base quadrada, a Grande Pirmide de Quops, uma das sete maravilhas do mundo antigo. O nmero de faces dessa pirmide, incluindo a base, : 
 a) igual ao nmero de arestas;
 b) igual ao nmero de vrtices;
<P>
 c) a metade do nmero de arestas;
 d) o dobro do nmero de vrtices.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Nona Parte